Докажите что из одинаковых плиток имеющих форму равнобедренной трапеции


391 Докажите, что из одинаковых плиток, имеющих форму равнобедренной трапеции, можно сделать паркет, полностью покрывающий любую часть плоскости.

Источник:

Решебник по геометрии за 8 класс (Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев, Э.Г.Позняк, И.И.Юдина, 2005 год),
задача №391
к главе «Глава V. Четырехугольники. §2. Параллелограмм и трапеция».

Все задачи >

Решение #1.

Условие задачи сформулировано некорректно. Доказательство невозможно.

Пример! Пусть S - площадь паркетной плитки в виде равнобедренной трапеции, S1 - некая площадь, ограниченная стенами. Тогда при S>S1 паркет уложить нельзя.

Решение #2.

Следовательно, можно построить 3 параллелограмма, удовлетворяющие данному условию.

← 390 Один из углов равнобедренной трапеции равен 68°. Найдите остальные углы трапеции.392 Основания прямоугольной трапеции равны а и b, один из углов равен а. Найдите: а) большую боковую сторону трапеции, если a=4 см, b = 7см, α=60°; б) меньшую боковую сторону трапеции, если a=10 см, b=15см, α=45°. →
  • Вконтакте
  • Facebook

Свойства трапеций и равнобедренных трапеций

  1. Образование
  2. Математика
  3. Геометрия
  4. Свойства трапеций и равнобедренных трапеций

Марк Райан

Трапеция с одной парой параллельных сторон параллельные стороны называются основаниями ). На следующем рисунке изображена трапеция слева и равнобедренная трапеция справа.

Пожалуй, самое сложное свойство обеих диаграмм - наличие дополнительных углов.Поскольку стороны параллельны, последовательные углы являются внутренними углами одной стороны и, следовательно, являются дополнительными. (Между прочим, все специальные четырехугольники, кроме воздушного змея, содержат следующие друг за другом дополнительные углы.)

Вот вам доказательство равнобедренной трапеции:

Заявление 1 :


Причина выписки 1 : Дано.

Заявление 2 :

Причина утверждения 2 : Ноги равнобедренной трапеции совпадают.

Заявление 3 :

Причина утверждения 3 : Верхние углы основания равнобедренной трапеции совпадают.

Заявление 4 :

Причина выписки 4 : Рефлексивное свойство.

Заявление 5 :

Причина утверждения 5 : SAS или Side-Angle-Side (2, 3, 4)

Заявление 6 :

Причина утверждения 6 : CPCTC (Соответствующие части конгруэнтных треугольников конгруэнтны).

Заявление 7 :

Причина утверждения 7 : Если углы, то стороны.

,

Докажите, что диагонали равнобедренной трапеции конгруэнтны

Чтобы доказать, что диагонали равнобедренной трапеции совпадают, рассмотрим равнобедренную трапецию, показанную ниже. В этом уроке мы покажем вам два разных способа сделать одно и то же доказательство, используя одну и ту же трапецию.

Первый способ - показать, что треугольник ABC конгруэнтен треугольнику DCB

.
Дано : Равнобедренная трапеция ABCD с отрезком AB ≅ сегмент DC

Prove : сегмент AC ≅ сегмент BD

Поскольку трапеция равнобедренная, углы основания совпадают.

Следовательно, ∠CBA ≅ ∠BCD

Кроме того, отрезок BC должен отрезать BC по рефлексивному свойству конгруэнтности.

Согласно постулату SAS, треугольник ABC ≅ треугольник DCB.

Следовательно, сегмент AC ≅ сегмент BD

О чем нужно помнить, когда вы доказываете, что диагонали равнобедренной трапеции совпадают.

Вот некоторые вещи, которые вы должны знать о приведенном выше доказательстве.

  • Утверждение , если трапеция равнобедренная, то базовые углы равны , также требует доказательства.Однако мы не будем здесь доказывать.
  • Равные стороны равнобедренной трапеции всегда непараллельны. На трапеции выше мы показываем эти стороны красными отметками.
  • Рефлексивное свойство относится к числу, которое всегда равно самому себе. Например, 9 = 9 или y = y являются примерами рефлексивного свойства.
  • SAS означает «сторона, угол, сторона». Возможно, вам стоит повторить урок о конгруэнтных треугольниках.
  • Чтобы доказать, что диагонали равнобедренной трапеции совпадают, вы также могли бы использовать треугольник ABD и треугольник DCA.

Другой способ доказать, что диагонали равнобедренной трапеции совпадают. На этот раз мы покажем, что треугольник BAD конгруэнтен треугольнику CDA

.
Дано : Равнобедренная трапеция ABCD с отрезком AB ≅ сегмент DC

Prove : сегмент AC ≅ сегмент BD

Поскольку трапеция равнобедренная, базовые углы совпадают

Следовательно, ∠BAD ≅ CDA

Обратите внимание, что на этот раз мы не используем те же базовые углы, что и перед.Базовые углы, которые мы сейчас используем, связаны с основанием сверху или сегментом AD.

Кроме того, отрезок AD ≅ переходит в отрезок AD по рефлексивному свойству конгруэнтности.

Согласно постулату SAS, треугольник BAD ≅ треугольник CDA

Следовательно, сегмент AC ≅ сегмент BD

Новые уроки математики

Ваша электронная почта в безопасности. Мы будем использовать его только для информирования вас о новых уроках математики.

,

Свойства трапеций и воздушных змеев

Теперь, когда мы видели несколько типов четырехугольники, которые параллелограммы, давайте узнаем о фигурах, не обладающих свойствами параллелограммов. Напомним, что параллелограммы были четырехугольниками, противоположные стороны были параллельны. В этом разделе мы рассмотрим четырехугольники, противоположные стороны могут пересекаться в какой-то момент.Мы изучим два типа четырехугольников. называются трапеции и воздушных змеев . Начнем изучение с изучения некоторые свойства трапеций.

Трапеции

Определение: Трапеция - это четырехугольник с одной парой параллельных Стороны.

Поскольку у трапеции должна быть ровно одна пара параллельных сторон, нам потребуется докажите, что одна пара противоположных сторон параллельна, а другая не находится в нашем двухколоночные геометрические доказательства.Если мы забудем доказать, что одна пара противоположных стороны не параллельны, мы не исключаем возможность того, что четырехугольник - параллелограмм. Поэтому этот шаг будет абсолютно необходим, когда мы будем работать. на разные упражнения с трапециями.

Прежде чем мы углубимся в изучение трапеций, необходимо изучить названия различных частей этих четырехугольников, чтобы уточнить его стороны и углы.Все трапеции состоят из двух основных частей: оснований и опор . Противоположные стороны трапеции, параллельные друг другу, называются основаниями. Остальные стороны трапеции, которые пересекаются в некоторой точке при удлинении, называются ножками трапеции.

Верхняя и нижняя стороны трапеции проходят параллельно друг другу, поэтому они основания трапеции.Другие стороны трапеции будут пересекаться, если их удлинить, так что они ноги трапеции.

Отрезок, соединяющий середины ног трапеции, называется отрезком. мидсегмент . Длина этого сегмента всегда равна половине суммы основания трапеции, или

Рассмотрим трапецию ABCD, показанную ниже.

Средний сегмент, EF , показанный красным, имеет длину

.

Размер среднего сегмента зависит только от длины трапеции. основы. Однако есть одна важная особенность некоторых трапеций: полагается исключительно на свои ноги. Давайте теперь посмотрим на эти трапеции.

Равнобедренные трапеции

Определение: Равнобедренная трапеция - это трапеция, ноги которой совпадают.

По определению, если в четырехугольнике есть ровно одна пара параллельных прямых, тогда четырехугольник - трапеция. Определение равнобедренной трапеции добавляет еще одно уточнение: ноги трапеции должны быть конгруэнтными.

ABCD не является равнобедренной трапецией, потому что AD и BC не совпадают. Потому что EH и FG конгруэнтны, трапеция EFGH - равнобедренная трапеция.

Есть несколько теорем, которые помогут нам доказать, что трапеция равнобедренная. Эти свойства перечислены ниже.

(1) Трапеция является равнобедренной тогда и только тогда, когда углы основания совпадают.

(2) Трапеция равнобедренная тогда и только тогда, когда диагонали совпадают.

(3) Если трапеция равнобедренная, то ее противоположные углы являются дополнительными.

Воздушные змеи

Определение: Воздушный змей - это четырехугольник с двумя разными парами смежных стороны, которые совпадают.

Напомним, что у параллелограммов тоже были пары равных сторон.Однако их конгруэнтные стороны всегда были противоположными сторонами. Воздушные змеи имеют две пары совпадающих сторон, которые встречаются в двух разных точках. Давайте посмотрим на иллюстрацию ниже, чтобы понять, что как выглядит воздушный змей.

Отрезок AB прилегает к отрезку BC и конгруэнтен ему. Сегменты AD и CD также смежные и конгруэнтные.

У воздушных змеев есть несколько свойств, которые помогут нам отличить их от других четырехугольников.

(1) Диагонали воздушного змея пересекаются под прямым углом.

(2) Воздушные змеи имеют ровно одну пару противоположных углов, которые совпадают.

Эти два свойства показаны на диаграмме ниже.

Обратите внимание, что на пересечении диагоналей образуется прямой угол, который в точке N.Также мы видим, что? K ?? M. Это наша единственная пара совпадающих углов, потому что ? J и? L имеют разные меры.

Попрактикуемся в выполнении некоторых задач, требующих использования свойств трапеций. и воздушных змеев, о которых мы только что узнали.

Упражнение 1

Найдите значение x на трапеции ниже.

Ответ:

Поскольку нам даны длины оснований трапеции, мы можем вычислить какой длины должен быть средний сегмент.Давайте использовать формулу, которую мы использовали дано для среднего сегмента, чтобы понять это. (Помните, что это половина суммы основания.)

Итак, теперь, когда мы знаем, что длина среднего сегмента составляет 24 , мы можем перейти вперед и установите 24 равным 5x-1 .Переменная разрешима сейчас:

Упражнение 2

Найдите значение y на равнобедренной трапеции ниже.

Ответ:

На рисунке нам дана величина только одного угла, поэтому мы должны иметь возможность чтобы вывести больше информации на основе этого элемента.Поскольку четырехугольник равнобедренной трапеции, мы знаем, что углы основания равны. Это означает, что ? A также имеет размер 64 ° .

Теперь давайте разберемся, что такое сумма ? A и ? P :

.

Вместе они имеют в общей сложности 128 ° .Напомним по Polygon Interior Теорема суммы углов гласит, что внутренние углы четырехугольника должны быть 360 ° . Итак, давайте попробуем использовать это таким образом, который поможет нам определить меру . ? R . Сначала просуммируем все углы и установим его равным 360 ° .

Теперь мы видим, что сумма ? T и ? R составляет 232 ° .Поскольку сегмент TR является другой базой трапеции TRAP , мы знаем, что углы в точках T и R должны совпадать друг другу. Таким образом, если мы определим меры ? T и ? R по переменной x , имеем

Это значение означает, что размер ? T и ? R равен . 116 ° .Наконец, мы можем установить 116 равным выражению, показанному в ? R для определения стоимости y . У нас

Итак, получаем x = 9 .

Хотя приведенный выше метод был подробным способом решения упражнения, мы могли бы Также как раз использовано то свойство, что противоположные углы равнобедренных трапеций являются дополнительными.Решение таким образом происходит намного быстрее, поскольку нам нужно только найти, что за добавка угла 64 ° составляет. Получаем

Как только мы дойдем до этой точки в нашей проблеме, мы просто установим 116 равным 4 (3y + 2) и решите, как мы делали раньше.

Упражнение 3

Ответ:

Прочитав задачу, мы видим, что нам предоставили ограниченный объем информации. и хочу сделать вывод, что четырехугольник DEFG - это воздушный змей. Заметь EF и GF совпадают, поэтому, если мы сможем найти способ доказать, что DE и DG совпадают, это даст нам две различные пары смежных сторон, которые конгруэнтны, что является определением воздушного змея.

Нам также известно, что ? EFD и ? GFD совпадают. В прошлом мы узнали несколько теорем сравнения треугольников, которые могут быть применимы в этой ситуации, если мы сможем найти другую сторону или угол, которые совпадают.

Поскольку сегмент DF составляет сторону ? DEF и ? DGF , мы можем использовать рефлексивное свойство , чтобы сказать, что оно конгруэнтно самому себе.Таким образом, согласно постулату SAS у нас есть два совпадающих треугольника.

Далее, мы можем сказать, что сегменты DE и DG совпадают. потому что соответствующие части конгруэнтных треугольников конгруэнтны. Наша новая иллюстрация показано ниже.

Мы заключаем, что DEFG является воздушным змеем, потому что он имеет две отдельные пары смежных сторон, которые совпадают.Геометрическое доказательство этого упражнения из двух столбцов показано ниже.

,

Смотрите также